Matrices
Une matrice est un ensemble de nombres .
Une matrice est un tableau rectangulaire .
Une matrice est organisée en lignes et en colonnes .
Dimensions matricielles
Cette matrice a 1 ligne et 3 colonnes :
La dimension de la matrice est ( 1 x 3 ).
Cette matrice comporte 2 lignes et 3 colonnes :
La dimension de la matrice est ( 2 x 3 ).
Matrices carrées
Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes.
Une matrice n par n est appelée matrice carrée d'ordre n.
Une matrice 2 par 2 (matrice carrée d'ordre 2) :
Une matrice 4 par 4 (matrice carrée d'ordre 4) :
| C = |
| 1 |
-2 |
3 |
4 |
| 5 |
6 |
-sept |
8 |
| 4 |
3 |
2 |
-1 |
| 8 |
sept |
6 |
-5 |
|
Matrices diagonales
Une matrice diagonale a des valeurs sur les entrées diagonales et zéro sur le reste :
Matrices scalaires
Une matrice scalaire a des entrées diagonales égales et zéro sur le reste :
| C = |
| 3 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
3 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
3 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
3 |
|
La matrice d'identité
La matrice d'identité a 1 sur la diagonale et 0 sur le reste.
C'est l'équivalent matriciel de 1. Le symbole est I .
| je = |
| 1 |
0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
0 |
0 |
| 0 |
0 |
1 |
0 |
| 0 |
0 |
0 |
1 |
|
Si vous multipliez une matrice avec la matrice d'identité, le résultat est égal à l'original.
La matrice zéro
La matrice zéro (matrice nulle) n'a que des zéros.
Matrices égales
Les matrices sont égales si chaque élément correspond :
Matrices négatives
Le Négatif d'une matrice est facile à comprendre :
Algèbre linéaire en JavaScript
En algèbre linéaire, l'objet mathématique le plus simple est le Scalaire :
Un autre objet mathématique simple est le Array :
const array = [ 1, 2, 3 ];
Les matrices sont des tableaux à 2 dimensions :
const matrix = [ [1,2],[3,4],[5,6] ];
Les vecteurs peuvent être écrits sous forme de matrices avec une seule colonne :
const vector = [ [1],[2],[3] ];
Les vecteurs peuvent également être écrits sous forme de tableaux :
const vector = [ 1, 2, 3 ];
Opérations de matrice JavaScript
La programmation d'opérations matricielles en JavaScript peut facilement devenir un spaghetti de boucles.
L'utilisation d'une bibliothèque JavScript vous évitera bien des maux de tête.
L'une des bibliothèques les plus courantes à utiliser pour les opérations matricielles s'appelle math.js .
Il peut être ajouté à votre page Web avec une seule ligne de code :
Utilisation de math.js
<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjs/9.3.2/math.js"></script>
Ajout de matrices
Si deux matrices ont la même dimension, on peut les additionner :
Exemple
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);
// Matrix Addition
const matrixAdd = math.add(mA, mB);
// Result [ [2, 1], [5, 2], [8, 3] ]
Matrices de soustraction
Si deux matrices ont la même dimension, on peut les soustraire :
Exemple
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
const mB = math.matrix([[1,-1], [2,-2], [3,-3]]);
// Matrix Subtraction
const matrixSub = math.subtract(mA, mB);
// Result [ [0, 3], [1, 6], [2, 9] ]
Pour additionner ou soustraire des matrices, elles doivent avoir la même dimension.
Multiplication scalaire
Alors que les nombres dans les lignes et les colonnes sont appelés Matrices , les nombres simples sont appelés Scalaires .
Il est facile de multiplier une matrice par un scalaire. Multipliez simplement chaque nombre de la matrice par le scalaire :
Exemple
const mA = math.matrix([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]);
// Matrix Multiplication
const matrixMult = math.multiply(2, mA);
// Result [ [2, 4], [6, 8], [10, 12] ]
Exemple
const mA = math.matrix([[0, 2], [4, 6], [8, 10]]);
// Matrix Division
const matrixDiv = math.divide(mA, 2);
// Result [ [0, 1], [2, 3], [4, 5] ]
Transposer une matrice
Transposer une matrice, c'est remplacer des lignes par des colonnes.
Lorsque vous échangez des lignes et des colonnes, vous faites pivoter la matrice autour de sa diagonale.
Matrices multiplicatrices
La multiplication des matrices est plus difficile.
Nous ne pouvons multiplier deux matrices que si le nombre de lignes dans la matrice A est le même que le nombre de colonnes dans la matrice B.
Ensuite, nous devons compiler un "produit scalaire":
Nous devons multiplier les nombres de chaque ligne de A avec les nombres de chaque colonne de B , puis additionner les produits :
Exemple
const mA = math.matrix([[1, 2, 3]]);
const mB = math.matrix([[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3]]);
// Matrix Multiplication
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);
// Result [ [6, 12, 18] ]
Expliqué :
| UNE |
|
B |
|
C |
|
C |
|
|
X |
|
= |
| 1x1 + 2x1 + 3x1 |
| 1x2 + 2x2 + 3x2 |
| 1x3 + 2x3 + 3x3 |
|
= |
|
Si vous savez comment multiplier des matrices, vous pouvez résoudre de nombreuses équations complexes.
Exemple
Vous vendez des roses.
- Les roses rouges coûtent 3 $ chacune
- Les roses blanches coûtent 4 $ chacune
- Les roses jaunes coûtent 2 $ chacune
- Lundi tu as vendu 260 roses
- Mardi tu as vendu 200 roses
- Mercredi tu as vendu 120 roses
Quelle était la valeur de toutes les ventes ?
|
 3 $ |
 4 $ |
 2 $ |
| lun | 120 | 80 | 60 |
| Mar | 90 | 70 | 40 |
| mer | 60 | 40 | 20 |
| UNE |
|
B |
|
C |
|
C |
|
|
X |
| 120 |
80 |
60 |
| 90 |
70 |
40 |
| 60 |
40 |
20 |
|
= |
|
= |
|
Exemple
const mA = math.matrix([[3, 4, 2]]);
const mB = math.matrix([[120, 90, 60], [80, 70, 40], [60, 40, 20]);
// Matrix Multiplication
const matrixMult = math.multiply(mA, mB);
// Result [ [800, 630, 380] ]
Expliqué :
| UNE |
|
B |
|
C |
|
C |
|
|
X |
| 120 |
80 |
60 |
| 90 |
70 |
40 |
| 60 |
40 |
20 |
|
= |
| 3x120 $ + 4x80 $ + 2x60 $ |
| 3x90 $ + 4x70 $ + 2x40 $ |
| 3 x 60 $ + 4 x 40 $ + 2 x 20 $ |
|
= |
|
Factorisation matricielle
Avec l'IA, il faut savoir factoriser une matrice.
La factorisation matricielle est un outil clé en algèbre linéaire, en particulier dans les moindres carrés linéaires.
